Questão da UnB: Física ou Matemática?

Outro dia encontrei  uma questão do vestibular da UnB que pela figura parecia ser de Física, mas depois de resolver todos os itens notei que usei muito menos os conceitos relacionados à Física e muito mais geometria analítica (equações da reta, distância entre um ponto e uma reta) funções compostas, e trigonometria. Na verdade, eu diria que é um típico caso de uma questão de Matemática, "disfarçada" de uma questão de Física. Vejamos:




Minhas soluções

63)  Quando a flecha cruza o eixo 0y x(t)=0

Como a função é dada por;
 
x(t) = 10 - 20t           [1]

temos então que:

0 = 10 - 20t
t = 0,5 s     (A afirmação está correta)


64)  Neste caso eu usei a fórmula que determina a absissa xv correspondente ao vértice de uma parábola, que é dado por:

xv = - b/(2.a)            [2]
 
A equação da parábola que define a trajetória da flecha é dada no problema. Arrumando os termos, ela fica:
 
f(x) = (- 1/16)x² + (1/4)x +23/4            [3]

Substituindo em [2], com;

a = - 1/16
b = 1/4


obtive:
x = 2 m

Substitui este valor em [1];

x(t) = 10 - 20t
2 = 10 - 20t
t = 0,4 s    (A afirmação está correta)

Solução alternativa: Se resolvêssemos obter antes aqui, a função f(x(t)), que foi determinada na questão 65,  logo abaixo, poderíamos derivá-la,  obtendo  a função da velocidade vertical v(x) da flecha;
v(x) =  20 - 50 t
No ponto de altura máxima, a velocidade vertical da flecha é nula. Então:
0 =  20 - 50 t
t = 0,4s

65) A função g(t) na verdade é a função composta f(x(t)).
Para obtê-la, basta calcular:
f(10 - 20t) = 23/4 + (0 - 20t)/4 - (10 - 20t)²/16

Depois de uma álgebra simples, cheguei a:

g(t) = 2 + 20t - 25t²       (A afirmação está correta)

Observação: Um ponto interessante de notar aqui é que, se formos comparar esta função com aquela, usada na Física, que descreve a posição do projétil na vertical (a famosa fórmula do "sorvetão"), teríamos:

S(t) =  (S0)  +  (V0) t  + (  g/2 )
 g(t) =  ( 2 )  + (20) t  + ( - 25)

Assim, a posição vertical inicial está correta, S0 = 2m
A componente da velocidade inicial na vertical está correta, V0 = 20m/s  
No entanto, se calcularmos a aceleração da gravidade do local, faríamos:
g/2 = - 25
Assim, g = - 50 m/s².    Esta aceleração é 5 vezes maior do que a da Terra !     Bom...Ninguém falou que o soldado estava aqui no  nosso planeta, portando o módulo de g não é mesmo 10 m/s².



66)  Optei por resolver esta questão da seguinte maneira:
Substituí o valor f(x) = 5, na equação [3]:
  
5 = (- 1/16)x² + (1/4)x +23/4

e obtive dois valores para x:
x1 = 6 m
x2 = - 2 m

Assim, pude concluir que , se o atirador se deslocasse 2 m para a direita, a flecha atingiria o ponto P, pois a absissa x2 = - 2 m, do novo referencial, corresponderia à absissa x = 0, do referencial antigo, em que a flecha teria exatamente a altura de 5 m.  
(A afirmação está correta)


67) Já que a altura inicial de lançamento não foi definida, considerei as duas condições, de altura menor, e de altura maior:


a) A de altura menor = 1 m 
 
tg α1  =  4/10 = 0,4










b) A de altura maior = 2 m

tg α2  =  3/10 = 0,3


 

  

 
Eu lembrei-me de que tg 30º = . A raíz de 3 aproximei para 1,7. Estimei, então que tg 30º seria aproximadamente 0,6.

Se a tangente do ângulo α, em ambos os casos, tem um valor menor do que 0,6, então o ângulo α é menor do que 30º.
Desta forma, o ângulo formado entre as duas linhas inclinadas será sempre maior do que π/12 radianos (15º), que corresponde à   [(45º - 30º)].   
(A afirmação está incorreta)

68) Vamos primeiramente determinar a equação da reta que representa a tragetória da bala. Se substituirmos, na equação [3], o valor de x = 10 m, obteremos y = 2 m. Temos então o ponto (10,2) da reta que representa a tragetória da bala. 
O coeficiente angular da reta é dado por:

tg 135º = - tg 45º = - 1

Com isso, obtive a equação da reta:
-1 = (y - 2)/(x - 10)
- 1 x - 1 y + 12 = 0

A coordenada do ponto P é (0, 5)

Finalmente, usei a fórmula de distância entre um ponto e uma reta, da Geometria Analítica:

 





No nosso caso a equação da reta, do tipo
a x + b y + c = 0        é:
- 1 x - 1 y + 12 = 0              portanto:

a = - 1
b = - 1
c = 12

O ponto P(x0,y0) = P(0, 5)     portanto:

x0 = 0
y0 = 5

Assim, temos:
 
    (Alternativa D)
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11 comentários:

  1. Excelente artigo, Jairo. Extremamente didático. :)

    Abraços.

    Cavalcanti

    P.S.: o novo layout está fabuloso! ;)

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    1. Obrigado, amigo Cavalcanti.
      Eu preciso treinar um pouco as fórmulas da Matemática.
      Às vezes aparece pra mim alguns alunos pedindo aulas particulares desta matéria também. Dependendo do assunto eu encaro ou não. Não tenho muita fscilidade com a parte de lógica: Arranjos, Permutações, Combinações, Probabilidade. O resto dou um jeito.

      Bom que você gostou do novo arranjo que fiz no blog.

      Abraço.

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  2. Oi, Jairo!

    Tem razão, as questões estão mais para matemática do que para física. È uma questão interdisciplinar mais voltado para a mat.

    Gostei da resolução dos exercícios, muito bem organizado e explicado.

    Valeu!

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    1. Pois é, caro amigo Aloisio.
      Na verdade eu procurava por uma questão de física pra treinar, e já tinha reparado que no caderno de questões eles não separam por matérias específicas. Aí comecei a resolver a questão, e logo fui percebendo que ela é mesmo de matemática, lógico, se classificarmos como se costuma fazer tradicionalmente. A gente sabe que a matemática é a ferramenta principal da matéria que eu leciono, e elas andam sempre juntas. E acho que por causa disso os alunos têm tanta dificuldade em física. Mas não é de física, propriamente dito. Eles se enrolam na parte matemática mesmo.

      Tentei organizar e explicar da melhor forma possível, mas já estou vendo que se quiser melhorar nesta parte, pra ficar como a cara dos seus posts, dos do Kleber, e de tantos que eu vejo sobre matemática e física, não vai ter jeito mesmo: terei que aprender Látex. Já procurei entender como fazer, mas como estou usando Notebook, ora de minha filha, ora de minha enteada, porque o meu velho pc pifou de vez, não estou querendo baixar o programa Látex nos nots delas. Vou esperar um pouco, quando eu comprar o meu, e aí talvez eu decida estudar esta importante linguagem computacional para nós da área de exatas.

      Abraço.

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  3. Jairo, um professor de física sempre começava os exercícios assim: "Num planeta hipotético...", isso dava margem a essas viajens de aceleração da gravidade igual a 50m/s^2, velocidades exorbitantes, ...mas o importante é aprender o conceito da coisa, independentemente dos valores assumidos.

    Um lançamento a 45° é onde obtemos maior alcance, não é mesmo?

    Gostei da resolução, e como você disse, uma questão de física recheada de matemática.

    Sobre o Latex, vou te mandar um e-mail com alguns detalhes, ok?

    Um abraço!

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    1. Pois é, Kleber.
      Eu entendo que talvez para simplificar os cálculos dos candidatos, que não podemos esquecer que são proibidos de usar calculadora, quem bolou esta questão parece ter ficado mais preocupado com as raízes das equações, de tal forma que fôssem exatas, para não complicar ainda mais um exercício que já ficou meio carregado de contas. Aí, sem querer, acontecem estas coisinhas estranhas que eu notei, no caso da gravidade.

      Gostei da ideia do planeta hipotético..rs

      Sim. O ângulo de 45º fornece o alcance máximo.

      Tentei ser bem claro na resolução, mas não tem jeito; É chato ter que escrever. "tg de 30º é raíz de 3 sobre 3. Vou ver se aprendo Látex. Faz falta nestas horas...

      Abraço.


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  4. Olá, Jairo!!!!

    Muito legal essa sua postagem, parceiro!!!! Achei melhor ainda, porque ela me obrigou a revisar os conceitos e as fórmulas da física (????)!!!! Fórmulas da física, mas, que melhor poderiam serem chamadas fórmulas matemáticas mesmo, pois são os números, que respondem quantitativamente o que se quer saber os... "porquês" do que está acontecendo, como se deu e... o que acontecerá!!!! Instintivamente todos são físicos naturalmente, desde que tenham a capacidade da percepção das coisas, porém, para se fazer um modelo matemático que responda os... "porquês" e/ou valores de grandezas, aí... tem-se que dominar a matemática, que é assim, o campo prático da física!!!!

    Caso precise utilizar outros lugares para realizar as experiências ou vivências que não seja a Terra, nesses exercícios, rsrsrsrsrs, por mim, estou de pleno acordo e... pelo que eu sou acostumado a fazer quando escrevo as minhas postagens, aceito até a coisa da... Lua iluminar o Sol. KKKKKKKKK!!!!

    Um abraço!!!!!

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    1. Valdir:
      A matemática e a física são amigas inseparáveis.
      Já que os meus (poucos) leitores são matemáticos, estou sempre procurando algo que acho que vão gostar.

      Agora comecei a testar a linguagem Látex, pois o Kleber me mostrou que é simples de usar. A resposta final que reformulei, e coloquei neste post é a minha estréia nesta linguagem. Vou tentar sempre aprender algo novo para o blog, e porque não dizer, para fazer minhas provas, ou listas de exercícios que usam fórmulas.

      Abraço

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    2. "Já que os meus (poucos) leitores..."

      _____________________

      Prezado amigo Jairo Grossi,

      Há 370 anos, tinha nascido, no antigo Reino da Inglaterra, um físico notável que mudou nossa compreensão acerca dos fenômenos da natureza. Formulou hipóteses, elaborou teorias a partir de suas observações, revelou à humanidade algumas leis que regem o Universo. Doravante, durante sua gloriosa passagem pela vida (faleceu com cerca de 84 anos), escreveu algo tão fantástico que julgo ser uma das maiores frases já proferidas e, em nada, estar em menor grau de importância que suas eternas descobertas. Certa ocasião, este verdadeiro Sir afirmou (sem por agora nos importarmos com o contexto em que pode verdadeiramente ter-se referido - sua baixa estatura, talvez):

      "Se consegui enxergar mais longe é porque estive apoiado sobre os ombros de gigantes"

      Nessa "Relatividade-Conceitual-Filosófica" que chamamos de "vida", quantidade não significa qualidade. Seria bom se tivéssemos a mescla de ambas: quantidade sinônimo de qualidade. Nas Ciências Exatas, por exemplo, quase nunca conseguimos chegar ao resultado que queremos: se num gráfico dum processo industrial operando em contracorrente em uma coluna de Absorção, desejo economizar o máximo de solvente a ser utilizado, terei que rebater as Linhas de Amarração ao valor mais próximo possível da Linha de Equilíbrio (em outras palavras, quando o valor da tangente for mínimo). Porém, à medida que isso ocorre, perderei a eficiência de transferência de massa. Assim é a vida. Nos tempos de exército, existiam esquadras que valiam por todo um pelotão. Nesses tempos atuais, de emburrecimento e aumento da intolerância, percebemos que aumenta cada vez mais a distância entre homens e Homens; mulheres e Mulheres, educados e Educadores; profissionais e Profissionais; soldados e Soldados; leitores e... Leitores. O estimado amigo Jairo Grossi pode, com toda propriedade, tomar para si essa fantástica frase de Isaac Newton, pois, meu caro, quando se tem Leitores do nível intelectual do Kleber Kilhian; do Francisco Valdir e do Aloisio Teixeira, pode, sem sombra de dúvidas, afirmar que está "apoiado sobre os ombros de gigantes".

      Abraços e que nada nos faça olhar para trás; somente continuarmos a caminhar. ;)

      Cavalcanti.

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    3. Cavalcanti:
      Obrigado pelas gentis palavras. Fico lisonjeado por tão nobre analogia.
      Acho que pouquíssimas pessoas no mundo foram ou serão capazes de produzir metade que fosse, do benefício em favor do melhor entendimento da Matemática, da Natureza, e do Universo, do que Sir Isaac Newton:

      Em 1663, com apenas 20 anos de idade, formulou o teorema hoje conhecido na matemática como Binômio de Newton.

      Em 1666 (com 23 anos!): o Teorema Binomial, o Cálculo, a Lei da Gravitação Universal e a natureza das cores.

      Em 1668: Construiu o primeiro telescópio de reflexão, do tipo usado até hoje, no Hubble, por exemplo, e foi quem primeiro observou o espectro visível pela decomposição da luz solar ao incidir sobre um prisma.

      Em 1687: Publicação da sua principal obra, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.

      Isto para citar somente algumas de suas contribuições.

      Meu amigo;
      Quando me refiro a ter poucos leitores, não fico chateado, e nem é meu desejo que sintam-se assim, pelo contrário: sei que são realmente Leitores, com L maiúsculo, e que valem por um batalhão de outros tantos.

      É certo que nossa ambição natural é que aumentássemos este batalhão de leitores gigantes, em quem pudéssemos nos apoiar, para que talvez enxergássemos um pouco mais longe.

      No entanto, meu caro, conquistar leitores deste quilate não é mesmo uma tarefa fácil. Como disse um pensador moderno, que não me lembro agora quem foi, na verdade, a maioria das pessoas não está mais navegando na internet, mas sim naufragando nela. Não sabem distinguir uma informação verdadeira de um boato, nem Ciência de Pseudo, e o que é pior, acabam muitas vezes propagando uma mentira, em nome da ignorância coletiva.(Vide Fim do Mundo).

      Felizmente, posso considerar-me um privilegiado, pois os leitores que conquistei através deste espaço, como você diz, são pessoas de um alto nível de cons(ciência).

      Enfim, quero dizer que tenho tentado preservar estes Leitores, do nível de vocês, pois têm sido a principal motivação que eu encontro para elaborar um artigo que acho que gostarão.

      Muito obrigado.

      Abraço.

      PS: A minha dívida de comentários nos seus excelentes artigos do sítio AstroPT está aumentando. Prometo compensá-la.

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    4. Não há qualquer dívida, meu caro. ;)

      Abraços cordiais.

      Cavalcanti

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