Nos séculos anteriores ao Renascimento, com base em modelos elaborados e defendidos por pensadores e astrônomos prestigiados, tais como Aristóteles e Ptolomeu, a maioria das pessoas acreditava que a Terra estivesse em repouso no centro do universo, com o Sol, a Lua, os planetas e as estrelas e astros mais distantes girando em torno de nós. Uma exceção teria sido Aristarco, ainda na Grécia Antiga, que deduziu outro modelo. Para ele, seria mais lógico que o Sol, por ser maior do que a Terra, ocupasse o centro, e que a Lua, por ser menor do que a Terra, giraria em torno do nosso planeta. Este modelo, quase esquecido, bem mais tarde voltou a encontrar defensores, como Copérnico e Galileu, e depois outros, como Kepler e Newton, que ao contrário dos geocêntricos, passaram a defender que a Terra é que faria o movimento em torno do Sol.
Hoje já sabemos que a Terra não só se movimenta ao redor do Sol (translação), mas que isto se dá a uma velocidade muito alta. Além disso, temos o giro em torno dela mesma (rotação), movimento responsável por confundir os geocêntricos.
Neste post vou comparar a velocidade de translação da Terra em torno do Sol à velocidade orbital da Lua em torno da Terra, através da solução de uma questão da Prova de Promoção por Mérito da Secretaria de Educação do Estado de São Paulo. Vejam:
SOLUÇÃO
Newton demonstrou que a força de atração gravitacional (F) entre dois corpos quaisquer, de massas M e m, separados por uma distância d é dada por: $$\begin{equation*}\large F = \frac{G.M.m}{d^2}\end{equation*}$$ onde G é a Constante Gravitacional Universal .
Esta força corresponde também à força centrípeta sofrida pelo corpo de massa m, que é dada por: $$\begin{equation*}\large F = \frac{m.V^2}{d}\end{equation*}$$ Se igualarmos ambas as equações anteriores, e fizermos alguns arranjos, obteremos: $$\begin{equation} \large V = \sqrt { \frac{G.M}{d}} \end{equation}$$ onde V corresponde à velocidade do corpo em órbita.
Velocidade da Terra
Vamos ver primeiramente como fica a expressão para o cálculo da velocidade da Terra. Substituindo na equação (1): $$\begin{equation} \large V(Terra) = \sqrt { \frac{G.M(Sol)}{D}} \end{equation}$$ onde M(Sol) é a massa do Sol, e D é a distância Terra-Sol.
Nota-se que esta velocidade depende da massa do Sol, e independe da massa da Terra e também da massa da Lua.
Não é pedido na questão, mas vou calcular a velocidade da Terra, substituindo os dados, e usando o valor de G = 6,7.1o^-11. m³/kg.s²:
$$\begin{equation*}\large V(Terra)\simeq\sqrt{\frac{6,7.10^{-11}.2.10^{30}}{1,5.10^{11}}} \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \large V(Terra) \simeq 30.000 m/s \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \large {V(Terra)} \simeq {108.000 km/h} \end{equation*}$$ (Se quiser, clique aqui para ver no blog O Baricentro da Mente, como é possível chegar a um valor bem próximo deste, para a velocidade de translação da Terra, através de um caminho diferente)
Velocidade da Lua
Agora vamos ver como fica a expressão para a velocidade da Lua em órbita da Terra. Substituindo na equação (1) obtemos: $$\begin{equation} \large V(Lua) = \sqrt { \frac{G.M(Terra)}{d}} \end{equation}$$ onde M(Terra) é a massa da Terra e d é a distância Lua-Terra.
Dividindo-se a equação (2) pela equação (3) temos:
$$\begin{equation*} \large \frac {V(Terra)}{V(Lua)} = \sqrt{\frac{\frac{G. M(Sol)}{D}}{\frac {G.M(Terra)}{d}}}\end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \large \frac {V(Terra)}{V(Lua)} = \sqrt{\frac{M(Sol).d}{M(Terra).D}}\end{equation*}$$ Substituindo os valores dados na questão: $$\begin{equation*} \large \frac {V(Terra)}{V(Lua)} \simeq \sqrt{\frac{2.10^{30}.3,8.10^8}{6.10^{24}.1,5.10^{11}}}\end{equation*}$$ Fazendo as aproximações da raiz quadrada temos: $$\begin{equation*} \large \frac{V(Terra)}{V(Lua)} \simeq 29,06 \end{equation*}$$ ou $$\begin{equation*} \large V(Terra) \simeq 29. V(Lua) \end{equation*}$$
Portanto, a resposta correta da questão é a alternativa (C)
A velocidade da Lua em torno da Terra seria portanto cerca de 3.700 km/h.
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