Comparando as velocidades da Terra e da Lua

Nos séculos anteriores ao Renascimento, a imensa maioria das pessoas, com base em modelos elaborados e defendidos por pensadores e astrônomos, dentre os quais se destacavam os prestigiados Aristóteles e Ptolomeu, não acreditavam que a Terra pudesse estar em movimento. Para elas, seria mais lógico que o nosso planeta estivesse em repouso no centro do Universo. Assim sendo, o Sol, a Lua e os demais planetas, bem como as estrelas, estariam todos girando em torno de nós.
Antes disso, é provável que somente Aristarco, ainda na Grécia Antiga, teria deduzido outro modelo. Para ele, seria mais lógico que o Sol, por ser maior do que a Terra, deveria ocupar o centro, e sendo a Terra maior do que a Lua, esta última giraria em torno do nosso planeta. Este modelo, quase esquecido, bem mais tarde voltou a encontrar defensores, como Copérnico Galileu, e depois outros tantos, tais como Kepler e Newton, que ao contrário dos geocêntricos, passaram a acreditar na ideia de que a Terra girava em torno do Sol, o que ficou conhecido como modelo heliocêntrico.

Hoje já sabemos que a Terra não só se movimenta ao redor do Sol (translação), mas que isto se dá a uma velocidade altíssima. Além disso, temos o giro em torno dela mesma, em relação a um eixo imaginário, movimento conhecido como rotação, maior responsável por confundir os geocêntricos, pois devido a ele, o Sol é que  parece mesmo girar à nossa volta.  
Neste post vou  mostrar a diferença entre a velocidade de translação da Terra em torno do Sol, comparada à velocidade orbital da Lua em torno da Terra, através da solução de mais uma questão que caiu na prova que eu fiz, de Promoção por Mérito. Vejam:

SOLUÇÃO
Newton demonstrou que a força de atração gravitacional (F) entre dois corpos quaisquer, de massas M e m, separados por uma distância d é dada por: $$\begin{equation*}\large F = \frac{G.M.m}{d^2}\end{equation*}$$ onde G é a Constante Gravitacional Universal .  
Esta força corresponde também à força centrípeta sofrida pelo corpo de massa m, que é dada por: $$\begin{equation*}\large F = \frac{m.V^2}{d}\end{equation*}$$ Se igualarmos ambas as equações anteriores, e fizermos alguns arranjos, obteremos: $$\begin{equation} \large V = \sqrt { \frac{G.M}{d}} \end{equation}$$ onde V corresponde à velocidade do corpo em órbita.

Velocidade da Terra
Vamos ver primeiramente como fica a expressão para o cálculo da velocidade da Terra. Substituindo na equação (1): $$\begin{equation} \large V(Terra) = \sqrt { \frac{G.M(Sol)}{D}} \end{equation}$$ onde  M(Sol) é a massa do Sol, e  D é a distância Terra-Sol.
Nota-se que esta velocidade depende da massa do Sol, e independe da massa da Terra e também da massa da Lua.

Só para calcularmos o valor da velocidade da Terra, que não é pedida na questão, mas tem a ver com o título deste post, podemos substituir os dados, e usar o valor de G aproximando para:
$$\begin{equation*} \large V(Terra) \simeq \sqrt { \frac{6,7.10^{-11}.2.10^{30}}{1,5.10^{11}}} \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \large V(Terra) \simeq 30.000 m/s \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \large \textbf {V(Terra)} \simeq \textbf {108.000 km/h} \end{equation*}$$ (Se quiser, clique aqui para ver no blog parceiro, O Baricentro da Mente, do meu amigo Kleber Kilhian, como é possível chegar a um valor bem próximo deste, para a velocidade de translação da Terra, através de um caminho diferente) 

Velocidade da Lua
Agora vamos ver como fica a expressão para a velocidade da Lua em órbita da Terra. Substituindo na equação (1) obtemos:  $$\begin{equation} \large V(Lua) = \sqrt { \frac{G.M(Terra)}{d}} \end{equation}$$ onde  M(Terra) é a massa da Terra e  d é a distância Lua-Terra.

Dividindo-se a equação (2) pela equação (3) temos:
$$\begin{equation*} \large \frac {V(Terra)}{V(Lua)} = \sqrt{\frac{\frac{G. M(Sol)}{D}}{\frac {G.M(Terra)}{d}}}\end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \large \frac {V(Terra)}{V(Lua)} = \sqrt{\frac{M(Sol).d}{M(Terra).D}}\end{equation*}$$ Substituindo os valores dados na questão: $$\begin{equation*} \large \frac {V(Terra)}{V(Lua)} \simeq \sqrt{\frac{2.10^{30}.3,8.10^8}{6.10^{24}.1,5.10^{11}}}\end{equation*}$$ Fazendo as aproximações da raiz quadrada temos: $$\begin{equation*} \large \frac{V(Terra)}{V(Lua)} \simeq 29,06 \end{equation*}$$ ou $$\begin{equation*} \large V(Terra) \simeq 29. V(Lua) \end{equation*}$$
Portanto, a resposta correta da questão é a alternativa (C)

A velocidade da Lua em torno da Terra seria portanto de "apenas" cerca de 3.700 km/h. Observando o nosso único e belo satélite natural em uma noite de Lua cheia, não dá para imaginar que ele está se movimentando com velocidade tão alta.
Compartilhe:

6 comentários:

  1. Olá, Jairo!!!!
    Para permitir uma imagem espacial combinando os movimentos de translação e rotação da Terra, juntamente com esse movimento de acompanhamento do deslocamento do Sol (em direção da estrela Vega ), eu digo que... a essa velocidade de 30 km/ s, para acompanhar o Sol, ela traça uma imensa espiral atrás de si e, se soltasse fumaça ( como o faz os aviões da esquadrilha da fumaça), era esta a visão que teríamos do eslocamento dela pelo espaço!!!!!
    Estou certo, professor????
    Um abraço!!!!!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Ah, sim, Valdir. Se somarmos o movimento de rotação e o movimento do Sol, teremos uma trajetória em formato de espiral, bem complicada mesmo. Esta velocidade da Terra, que calculei no post, tem o Sol como referencial. E mesmo assim, foi feita uma simplificação, considerando que a órbita é circular. Na verdade nós sabemos que na órbita elíptica a velocidade de aproximação ao Sol vai aumentando, e a de afastamento vai diminuindo, como bem determinou o gênio Kepler.
      Abraço

      Excluir
  2. Olá Jairo. Ótima postagem. Eu gosto muito desse tema, tanto que já havia estimado as velocidades da Terra. Veja o link: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2010/02/as-velocidades-da-terra.html O que achei interessante em sua postagem foi a dedução utilizando a Lei da Gravitação e a força centrípeta, o que independe do tempo. Para a velocidade da Lua, realmente é muito alta, tendo em vista que está muito mais próxima da Terra do que a Terra do Sol, se deslocando graciosamente pelo nosso céu.

    Um abraço!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Pois é, amigo. Quase que por acaso, depois que eu havia postado, vi um post em destaque no blog da UBM, justamente com esse tema, e então coloquei uma observação no meu post, com o link para o seu. Eu vi que se pode chegar a resultados muito semelhantes, através de caminhos diferentes.
      Abraço

      Excluir
  3. Poxa, me interessei demais pela explicação, mas em todas as fórmulas está com erro de link, e não consigo ver para entender melhor. :(

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá, Clayton. Não sei te dizer o que está acontecendo. Talvez seja o navegador que vc está usando. Testei usando o Chrome aqui e está tudo certo,as fórmulas(que são escritas usando o Latex) estão aparecendo normalmente. Experimenta mudar o seu navegador. Abraço.

      Excluir

Os comentários são moderados pelo autor do blog.
Se quiser receber comentários futuros deste post pelo seu e-mail, clique na opção "Notifique-me"